第17章 顾轩的反向教学

第二十五天晚上。

周五。

这一周的辅导快结束了，顾轩的数学水平己经有了质的飞跃。上次月考的八十七分不是偶然，姜蓉蓉发现，他现在做题的速度和准确率都在稳步提升。

六点半，顾轩准时出现在教室门口。

手里拎着两杯奶茶——芋泥波波和椰果，还有三包辣条。

“今天怎么三包？”姜蓉蓉看着那堆辣条。

“周末。”顾轩说，“周末要加量。”

姜蓉蓉笑了，把辣条收进帆布袋里。

“今天讲什么？”顾轩坐下来。

“不等式的解法。”姜蓉蓉翻开教材，“这个你上次月考错了一道题，今天补一下。”

顾轩点点头，拿出那个深蓝色的笔记本。

翻开最新的一页，上面是他昨天画的“讲三遍题的姜蓉蓉”，旁边有姜蓉蓉的红笔批注：“画得还行，但头发画多了，我没那么多。”

他看着那行字，嘴角弯了弯。

“笑什么？”姜蓉蓉凑过来看。

“没什么。”顾轩合上笔记本，“开始吧。”

姜蓉蓉在草稿纸上写了一道题：

解不等式 x2 - 5x + 6 ＞ 0。

“这个你会吗？”她问。

顾轩看了一眼：“会。(x-2)(x-3)＞0，所以x＜2或x＞3。”

姜蓉蓉点点头：“对。那如果改成小于0呢？”

“x2-5x+6＜0，就是2＜x＜3。”

“对。”姜蓉蓉又写了一道更复杂的：

解不等式 x2 - 4x + 3 ≤ 0。

顾轩拿起笔，正要写，忽然停住了。

“姜蓉蓉。”他抬起头。

“嗯？”

“这个题，我有个不一样的解法。”

姜蓉蓉愣了一下：“什么解法？”

顾轩在纸上画了一个坐标系，画了一条抛物线。

“你看，x2-4x+3=0的根是1和3，抛物线开口向上。所以小于等于0的部分，就是图像在x轴下面的部分。”

姜蓉蓉点点头：“对，这就是常规解法。”

“但我不是这样想的。”顾轩说。

“那你怎么想？”

顾轩指着那条抛物线：“我觉得，这个不等式，其实是在问：x在什么范围内，这个二次函数的值不大于0？”

姜蓉蓉愣了一下：“这不是一样的吗？”

“不一样。”顾轩说，“你这样想的时候，是在解方程。但我想的是，这个函数的最小值是多少？”

他在纸上继续写。

“顶点公式，x=-b/2a=2，代入得y=-1。所以最小值是-1，小于0。所以肯定有一段区间是小于0的。”

姜蓉蓉听着，觉得有点意思。

“然后呢？”

“然后，”顾轩说，“因为开口向上，所以小于0的部分一定在两个根之间。两个根是1和3，所以答案是1≤x≤3。”

姜蓉蓉沉默了三秒。

然后她笑了。

“顾轩。”

“嗯？”

“你这个方法，比常规解法多了一步，但逻辑更清楚。”

顾轩挠挠头：“是吗？”

“嗯。”姜蓉蓉说，“你是在理解函数的性质，而不是机械地套公式。”

顾轩被夸得有点不好意思。

“那……我继续？”

“继续。”

姜蓉蓉又写了一道更难的：

解不等式 (x-1)(x-2)(x-3) ＞ 0。

这是一元三次不等式，常规解法是画数轴，标根，然后判断符号。

顾轩盯着那道题看了三秒，然后开始画图。

他画了一个数轴，标出1、2、3三个点。

然后他在每个区间里试了一个数：

x＜1，试0：(-1)(-2)(-3) = -6，负。

1＜x＜2，试1.5：(0.5)(-0.5)(-1.5) = 0.375，正。

2＜x＜3，试2.5：(1.5)(0.5)(-0.5) = -0.375，负。

x＞3，试4：(3)(2)(1) = 6，正。

所以答案是：1＜x＜2或x＞3。

他写完，递给姜蓉蓉。

姜蓉蓉看了一眼，点点头。

“对了。”

但她忽然问：“你为什么每个区间都试数？常规方法是‘奇穿偶不穿’，首接画线就行。”

顾轩想了想：“那个方法我没记住。”

姜蓉蓉愣了一下：“没记住？”

“嗯。”顾轩说，“我觉得试数更保险，虽然慢一点，但不会错。”

姜蓉蓉看着他，忽然问：“那你平时做题，都用自己方法？”

顾轩点点头：“大部分时候。你讲的方法我也会，但有时候记不住，就用自己想的方法。”

姜蓉蓉沉默了几秒。

然后她说：“顾轩，你做一道题给我看看。”

她写了一道比较复杂的题：

解不等式 (x2-4)(x-1) ≤ 0。

顾轩接过来，开始做。

他没有首接用“奇穿偶不穿”的方法，而是先把x2-4分解成(x-2)(x+2)，于是原式变成(x-2)(x+2)(x-1) ≤ 0。

然后他画数轴，标出-2、1、2三个点。

然后他开始试数：

x＜-2，试-3：(-5)(-1)(-4) = -20，负，符合≤0？负是小于0，符合。

-2＜x＜1，试0：(-2)(2)(-1) = 4，正，不符合。

1＜x＜2，试1.5：(-0.5)(3.5)(0.5) = -0.875，负，符合。

x＞2，试3：(1)(5)(2) = 10，正，不符合。

所以答案是：x ≤ -2 或 1 ≤ x ≤ 2。

他写完，递给姜蓉蓉。

姜蓉蓉看了三秒，然后笑了。

“对了。”

顾轩眼睛亮了一下。

但姜蓉蓉忽然说：“你知道常规方法怎么做吗？”

顾轩摇摇头。

姜蓉蓉在纸上画了一条波浪线，穿过-2、1、2三个点，标出符号。

“你看，这样画线，首接就能看出答案，比你试数快多了。”

顾轩盯着那条波浪线，看了很久。

然后他忽然说：“姜蓉蓉。”

“嗯？”

“你这个方法，我好像懂了。”

姜蓉蓉愣了一下：“懂了？”

“嗯。”顾轩指着那条线，“从右边开始，x＞2的时候是正，穿过2变成负，穿过1变成正，穿过-2变成负。所以负的部分就是x＜-2和1＜x＜2。”

姜蓉蓉瞪大眼睛。

“你……看一遍就会了？”

顾轩挠挠头：“你画出来我就懂了。之前你讲的时候我没听懂，但你画出来，我就看明白了。”